Коробов Павел Иванович родился 16 (29) августа 1902 года в посёлке Макеевка Области Войска Донского, ныне город Донецкой области (Украина). Русский.
Выходец из семьи потомственных знатных металлургов Коробовых. Его отец, Иван Григорьевич Коробов (1882-1952 года), свыше 30 лет был обер-мастером Макеевского металлургического завода, автор ряда уникальных изобретений и передовых методов работы, кавалер трех орденов Ленина. Брат Николай Иванович Коробов (1905-1979 года) свыше 30 лет проработал на заводе, затем стал директором Государственного института по проектированию металлургических заводов (Гипромеза), заместителем председателя Госстроя СССР, профессором Московского института стали и сплавов. Второй брат Илья Иванович Коробов свыше 25 лет был директором металлургического завода имени Г.И.Петровского в Днепропетровске, Герой Социалистического Труда, лауреат ленинской премии.
Как и все его братья, в 14 лет стал рабочим Макеевского металлургического завода (1916 года), трудился чернорабочим, учеником слесаря, слесарем, газовщиком. В 1922 году направлен на учёбу в Московскую горную академию, успешно окончил её в 1928 году. В 1928-1935 годах работал горновым, мастером доменной печи, сменным инженером, начальником доменного цеха Енакиевского металлургического завода. В 1936 году - начальник доменного цеха завода имени Г.И.Петровского (Днепропетровск). Добился выдающихся трудовых показателей, как и остальные Коробовы. На одном из торжественных собраний в 1934 году И.В.Сталин поднял тост в честь знатной семьи металлургов Коробовых и выступил с благодарностью Коробовым за трудовые достижения. Это выступление широко освещалось в газетах и принесло всем Коробовым всесоюзную славу. В том же 1934 году
Коробов Павел Иванович решением ЦК партии был принят в члены ВКП(б) без прохождения кандидатского стажа.
В 1936 году
Коробов Павел Иванович назначен начальником доменного цеха Магнитогорского металлургического комбината. В самом начале 1937 года он назначается главным инженером, а в марте 1937 года - директором Магнитогорского металлургического комбината. Тогда этот комбинат был не только лидером черной металлургии СССР, но и символом советской эпохи, первой всенародной стройкой. Коробов много сделал для дальнейшего развития комбината и для преодоления негативных последствий массовых репрессий конца 1930-х годов, принёсших большой ущерб комбинату.
В марте 1939 года назначен заместителем Народного комиссара черной металлургии СССР (с 1946 года - заместитель Министра чёрной металлургии СССР). Обладая большим практическим опытом работы и теоретическими знаниями, Коробов принимал активное участие в решении всех важнейших задач отрасли.
Невозможно переоценить его заслуги в годы Великой Отечественной войны. Будучи единомышленником и надёжным соратником наркома И.Ф.Тевосяна,
Коробов Павел Иванович решал задачи по налаживанию и расширению производства в восточных районах страны. Потеря важнейших металлургических комбинатов юга Украины и Донбасса грозила экономике воюющей страны параличом. Но в кратчайшие сроки было совершено невероятное - эвакуированные комбинаты на скудных производственных базах начинали работать буквально «с колёс».
Коробов Павел Иванович всю осень 1941 года находился в Нижнем Тагиле, где под его руководством на базе небольшого металлургического завода был создан крупный металлургический комбинат по выпуску высокопрочных сортов стали. С января по июль 1943 года, не оставляя поста заместителя Народного комиссара, он одновременно работал директором Магнитогорского металлургического комбината. Ему удалось решить сложнейшую задачу его технического перевооружения без снижения объемов производства.
"За особые заслуги в области организации производства качественного и высококачественного металла для всех видов вооружения, танков, авиации и боеприпасов в трудных условиях военного времени", Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 сентября 1943 года Коробову Павлу Ивановичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Mолот».
Работал на посту заместителя министра до 1955 года. Занимался вопросами восстановления предприятий черной металлургии и строительством новых предприятий. В 1955 году назначен первым заместителем председателя Государственного комитета Совета Министров СССР по новой технике. Отвечал за создание новых видов металлов для нужд обороны и народного хозяйства СССР, в том числе для космической и ракетной отраслей. Одновременно работал сопредседателем с советской стороны Советско-Чехословацкой комиссии по научно-техническому сотрудничеству.
Автор ряда трудов по доменному производству, внедрению новой техники и передовой технологии на предприятиях черной металлургии. Главный редактор журнала «Сталь».
Коробов Павел Иванович избирался депутатом Верховного Совета СССР 1-2 созывов (в 1937-1950 годах).
Жил в городе-герое Москве. Умер 17 августа 1965 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Награждён шестью орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.
Его именем названа улица в Магнитогорске.
