Фогель Артур Иванович родился 9 июня 1877 года в городе Тарту (Юрьев) Лифляндской губернии в семье купца среднего достатка. Он был пятым ребенком, всего в семье было семеро детей. Отец умер, когда мальчику исполнилось 3 года. Юноше пришлось подрабатывать уже будучи гимназистом. В те годы он освоил столярное и переплетное ремесла, приобрел навыки токаря. По окончании Юрьевской (бывшей Дерптской) гимназии (1896 год) поступил на медицинский факультет Юрьевского университета. В 1901 году окончил Юрьевский университет со званием лекаря. Еще будучи студентом 3-го курса, он начал работать в качестве субординатора в госпитальной хирургической клинике профессора В.Г. Цеге-Мантейфеля и акушерской поликлинике по подаче помощи родильницам на дому. С 1902 года под руководством хирурга А. Бергмана Фогель Артур Иванович работал ассистентом в хирургическом отделении Рижской городской больницы. В каникулярное время он работал в сельских больницах. Сразу после окончания университета ему посчастливилось устроиться в городе Риге ординатором хирургического отделения 1-ой городской больницы. Это была хорошо поставленная больница на 700 коек, которая в 1903 году отпраздновала 100-летний юбилей своего существования. Здесь проработал почти 3 года и получил весьма основательную хирургическую подготовку и опыт. В 1903 году Фогель Артур Иванович провел сложнейшую по тем временам операцию – ушивание ножевой раны сердца. Это был 37 случай, опубликованный в мировой медицинской литературе, и одна из первых операций подобного рода в России. Вскоре перешел в гинекологическое и родильное отделение той же больницы. В октябре 1904 года, во время русско-японской войны 1904 год-1905 год, отправился на фронт в качестве врача Либавского отряда Красного Креста, год работал заведующим хирургическим отделением отряда в Харбине. С января по июль 1906 год находился в Германии для повышения квалификации; работал в клиниках Бергмана, Гильденбрандта, Керта, Хоффа (Берлин), Краске, Кренига, Килиана (Фрейбург). С сентября 1906 год по ноябрь 1908 год заведовал хирургическим отделением в заводской больнице Русско-бельгийского металлургического общества в городе Енакиеве Екатеринославской губернии. С января 1909 года – главный врач и хирург Омской городской больницы (избран по конкурсу из 125 претендентов на должность). К этому времени больница насчитывала 95 коек, три отделения (инфекционное, терапевтическое, венерологическое), чуть позже Фогель Артур Иванович открыл хирургическое отделение. В 1910 году по его инициативе в городе Омске появился рентгеновский кабинет. В здании больницы проведен капитальный ремонт, для больных устроены теплые туалеты, построены отдельные перевязочная и стерилизационная комнаты. В 1911 году вся больница электрифицирована, при ней открылась первая городская аптека. Фогель оставался главным врачом городской больницы до 1923 года, когда стал только заведующим хирургическим отделением (оставался в должности до 1932 года). В 1909 год-1927 год в больнице проведено 16 тысяч операций, из них Фогель Артур Иванович выполнил 10 785.
В 1915 году Фогель Артур Иванович организовал собственную хирургическую больницу на 12 коек, для этого купил два дома по улице Тобольской в городе Омске. После перестройки помещений здесь разместилось 30 коек. В июне 1920 года Сибирское управление здравоохранения взяло его больницу под контроль, присвоив ей название «Образцовая хирургическая больница при Сибздраве», однако 10 коек остались собственностью Фогеля. При организации Омского медицинского института в 1921 году Артур Иванович Фогель избран заведующим кафедрой оперативной хирургии, в качестве консультанта участвовал в организации институтских клиник.
В 1922 году Фогель Артур Иванович пытался получить эстонское гражданство: в Эстонии жили его мать и сестры Ванда и Элен. В 1923 году дома Фогеля Артуру Ивановичу национализированы, его лечебница перешла в ведение губздрава, позже горздрава, в 1930 передана в ведение Омского городского комитета Российского общества Красного Креста (РОКК). Одновременно с 1926 года Фогель Артур Иванович консультировал в физиотерапевтической лечебнице здравотдела Омской железной дороги, а с 1934 года – в областной лечебной комиссии. Он состоял членом Президиума городского комитета РОКК (1934 год-1935 год), Пленума областного комитета РОКК (с 1936 года); заместителем председателя хирургической секции (1932 год) и заместителем председателя (1934 год) Общества социалистического здравоохранения.
Фогель Артур Иванович поддерживал контакты с лютеранской общиной города Омска. По просьбе представителей общины в 1925 году в его квартире жил генерал-суперинтендент Московской лютеранской консистории Т.Ф. Мейер. В 1926 году здесь останавливались пасторы, командированные консисторией в Сибирь, среди них – Ф.И. Мерц. В период массовой эмиграции немцев в Канаду в конце 1920-х годов. Фогель Артур Иванович пользовался особенно большой популярностью, так как для выезда из СССР требовалось иметь медицинское свидетельство на всех членов семьи.
В октябре 1938 года Фогель Артур Иванович арестован по обвинению в шпионаже в пользу Германии и Эстонии (он был знаком с посетившим в 1925 году в гроде Омске консулом Германии в Сибири В. Гросскопфом), содержался в Омской тюрьме. Выездная сессия военного трибунала Сибирского военного округа 26 августа 1939 года приговорила Фогеля Артура Ивановича к расстрелу. 5 января 1940 года определением Военной коллегии Верховного суда СССР дело в отношении Фогеля Артура Ивановича прекращено за недостаточностью собранных улик, вскоре он был освобожден.
В годы Великой Отечественной войны 1941-1945 года Фогель Артур Иванович приложил немало сил для спасения раненых; был удостоен медали «За доблестный труд в Великой Отечественной войне». Последние годы жизни заведовал хирургическим отделением больницы Ленинского района города Омска. Умер в 1948 году.
Был дважды женат: с 1906 года, овдовел в 1912 год; с 1920 года, развелся в 1931 году. От второго брака имел дочь Эрику.
