Родился 5 июня 1918 года в селе Локно ныне Хотынецкого района Орловской области в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. С 1930 года жил в городе Енакиево Донецкой области Украины. Окончил техникум связи. Работал техником-связистом.

В Красной Армии с 1938 года. Участник советско-финляндской войны 1939-40 годов.

Участник Великой Отечественной войны с сентября 1941 года. В 1942 году окончил Сумское артиллерийское училище. Сражался на Западном, Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Во время боев за город Ржев был ранен. Принимал участие в боях на Курской дуге, где проявил большую храбрость и был отмечен орденом Красной Звезды.

Командир батареи 869-го истребительно-противотанкового артиллерийского полка (52-я армия, Воронежский фронт) капитан Василий Ёлкин отличился 22 сентября 1943 года при отражении контратаки противника в районе села Бригадировка (ныне Калиновка Семёновского района Полтавской области Украины). Батарея подбила четыре танка, три штурмовые орудия, отразила контратаку противника и удержала село.

Продолжая дальнейшее наступление, батарея капитана Василия Ёлкина участвовала в форсировании Днепра.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 декабря 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, капитану Ёлкину Василию Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2612).

Василий Ёлкин участвовал в отражении контрудара противника в районе города Малин Житомирской области, за что был награжден орденом Александра Невского и в боях у города Тернополя, за что награжден орденом Отечественной войны 2-й степени.

После войны Герой продолжал службу в рядах Советской Армии. В 1945 году окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу, а в 1958 году — Военную командную академию ПВО. С 1961 года полковник В.Д. Ёлкин — в запасе.

Жил в городе Ленинград (ныне – Санкт-Петербург). Работал преподавателем военной кафедры института связи. Умер 16 января 2001 года. Похоронен на Красненьком кладбище в Санкт-Петербурге.